دانشکده - دانشکده علوم پایه

دانشکده - دانشکده علوم پایه

P.H.D dissertations

حل عددي معادلات انتگرال و انتگرال-ديفرانسيل تاخيري با استفاده از تقريب داده هاي پراكنده
سيدعليرضا حسينيان
پيدايش سيستم هاي تاخيري پيشرفت بزرگي در انطباق هرچه بيشتر مدل هاي ارائه شده با رفتار پديده هاي طبيعي به وجود آورده است. گسترش روزافزون اين دسته از معادلات نشان دهنده جايگاه و اهميت آنها در علوم كاربردي مي باشد. اگرچه پيچيدگي معادلات تاخيري سبب مي گردد تا به دست آوردن جواب تحليلي در بسياري از موارد سخت و يا غيرممكن شود، اما با استفاده از روش عددي مناسب مي توان تقريبي از جواب براي اين گونه از معادلات به دست آورد. در اين رساله به حل عددي رده ايي از معادلات انتگرال و انتگرال-ديفرانسيل تاخيري پرداخته ايم كه بطور گسترده در مدل سازي مسائل فيزيكي و علوم طبيعي به كار گرفته شده اند. براي اين منظور، تقريب داده هاي پراكنده عموما شامل توابع پايه شعاعي به عنوان پايه ي روش هاي تصويري گسسته مورد استفاده قرار گرفته اند. الگوريتم هاي ارائه شده با اين رويكرد از نظر محاسباتي ساده و جذاب هستند و مي توانند به راحتي توسط نرم افزارهاي رياضي كد شده و روي يك كامپيوتر شخصي اجرا شوند. براي بررسي دقت روش هاي ارائه شده تخميني از خطا و مرتبه همگرايي روش هاي ارائه شده را بدست آورده ايم. به علاوه براي نشان دادن كارايي رويكرد هاي پيشنهادي، آنها را با ارائه چند مثال آزموده ايم. نتايج عددي بدست آمده با تحليل خطاي نظري همخواني داشته و آنها را تاييد مي كنند.
Thesis summary
بكارگيري روش هاي موضعي مبتني بر هسته هاي شعاعي براي حل برخي مسائل رياضي برگرفته از علوم زيستي
فاطمه اسدي مهرگان
در اين رساله به شبيه سازي عددي مدل هاي رياضي براي پديده هاي زيستي و پزشكي از جمله مدل همه گيري كوويد-19، پخش بيماري هاي واگيردار در زمان معين روي يك ناحيه ي جغرافيايي، عفونت اچ آي وي، رشد گونه اي از موجودات در يك محيط بسته، رشد و تهاجم سلول هاي سرطاني مي پردازيم. مدل سازي رياضي بيماري ها براي درك بهتر الگوهاي اپيدميولوژيك و كنترل آن ها در جمعيت هاي انساني بسيار مهم است. استفاده از اين مدل ها مي تواند روش هاي مختلفي براي كنترل و مهار بيماري ها در جهت رشد لجستيكي جمعيت، از جمله طراحي واكسيناسيون و داروها را مورد بررسي قرار دهد. اين رساله، از روش هاي موضعي مبتني بر هسته هاي شعاعي كه به علت عدم نياز به شبكه بندي در ناحيه جواب به آن ها روش هاي بدون شبكه نيز گويند، براي حل مدل هاي ذكر شده، استفاده كرده است. اين روش ها به دليل پايداري و كارآيي بيشتر و نياز كمتر به داده هاي پراكنده در دامنه، نسبت به روش هاي سراسري مورد ترجيح قرار مي گيرند. روش هاي پيشنهادي در اين رساله داراي الگوريتم هاي ساده هستند كه راحتي اجرا و پياده سازي بر روي كامپيوترهاي شخصي را فراهم مي كنند. همچنين در پايان هر فصل، انجام آزمايش هاي عددي نشان مي دهد كه روش هاي عددي ارائه شده به خوبي مدل ها را شبيه سازي مي كنند.
Thesis summary

Master Theses

شبيه سازي پويايي رشد تومورهاي سرطاني تحت تاثير درمان هاي رايج با استفاده از روش هاي بدون شبكه
زهرا شفيع
در اين پايان نامه، يك مدل رياضي جديد براي درمان تومورها، از جمله تومورهاي مغزي تحت پرتودرماني، براساس معادله واكنش-انتشار برگرفته از مدل سوانسون ارائه مي شود. اين مدل رياضي به منظور بررسي رفتار تومورها و تاثير تراكم سلول ها در مغز، با استفاده از روش بدون شبكه در دو فضاي مختلف (يك مربع و يك كره) تقريب زده مي شود. براي تقريب زمان در مدل مورد مطالعه، از طرح اويلر نيمه- ضمني پسرو مرتبه اول استفاده مي گردد. اين طرح باعث مي شود تا معادلات مرتبط به زمان كاملاً گسسته شده و در هر مرحله زماني به يك دستگاه خطي از معادلات جبري تبديل شوند. يكي از ويژگي هاي برجسته اين مدل عددي، استفاده از روش بدون شبكه است كه به طور كامل بدون نياز به شبكه پس زمينه يا مثلثي براي تقريب مكاني عمل مي كند. علاوه بر اين، اين روش با استفاده از مجموعه هاي نقاط پراكنده به راحتي در دامنه كره نيز قابل اعمال است. نتايج اين پايان نامه نشان مي دهند كه چگونه تومورهاي مغزي در صورت عدم درمان و تحت تاثير پرتودرماني با استفاده از داده هاي باليني و تخميني رشد مي كنند. قابل ذكر است كه نتايج اين پايان نامه قابل استفاده در بهبود راهكارهاي درماني براي تومورهاي مغزي مهاجم نيز هستند.
Thesis summary
كارگيري روش هاي گلركين موضعي بدون شبكه به منظور شبيه سازي عددي رفتار تهاجمي سلول هاي سرطاني
راضيه محبي
در حوزه علوم پزشكي و بيولوژيكي، مدل سازي رياضي رشد سلول هاي سرطاني به عنوان يكي از مسائل حياتي شناخته مي شود. در اين پايان نامه، يك رويكرد بدون شبكه بر پايه فرم ضعيف، به نام گلركين المان آزاد، براي حل عددي مدل سازي رياضي تهاجم سلول هاي سرطاني به بافت ارائه مي دهيم. مدل مورد مطالعه در اين تحقيق شامل يك دستگاه از معادلات ديفرانسيل جزئي واكنش-انتشار وابسته به زمان است كه تعاملات پيچيده بين سلول هاي سرطاني، ماتريكس خارج سلولي و آنزيم هاي تخريب ماتريكس را مدل سازي مي كند. در اينجا، از روش تفاضلات متناهي نيمه-ضمني مبتني بر اويلر پسرو نيز براي تخمين متغيرهاي زماني استفاده مي كنيم. رويكرد پيشنهادي ما بر اساس مجموعه اي از نقاط پراكنده در دامنه مساله توسعه يافته است. در نهايت، ما شبيه سازي هاي عددي جهت تجسم رفتار تهاجم سلول هاي سرطاني به بافت در زمان هاي مختلف با استفاده از نقاط پراكنده ارائه مي دهيم كه كارايي و دقت روش پيشنهادي را تاييد مي كند.
Thesis summary
حل تقريبي معادلات انتگرال و انتگرال-ديفرانسيل از نوع ولترا-فردهلم با استفاده از توابع پايه اي شعاعي
زهرا اسدي
معادلات انتگرال-ديفرانسيل مختلط ولترا-فردهلم در بسياري از علوم زيستي، مهندسي، فيزيك وغيره كاربرد فراواني دارند. هدف اصلي اين پايان نامه، حل اين گونه معادلات با استفاده از روش هاي عددي است. ابتدا با انجام عمليات انتگرال گيري از طرفين معادلات انتگرال-ديفرانسيل، آن ها به معادلات انتگرال مختلط نوع دوم تبديل مي شوند. سپس با اعمال روش هاي تصويري گسسته بر اساس تقريب داده هاي پراكنده، جواب معادلات انتگرال بدست مي آيد. اين تقريب ها در اشكال متنوعي مشاهده مي شوند كه محبوب ترين آن ها، توابع پايه اي شعاعي هستند. براي تقريب انتگرال هاي ظاهرشده در روش هاي ارائه شده، از روش انتگرال گيري عددي گاوس-لژاندر استفاده مي شود. اين روش ها به دليل عدم نياز به استفاده از شبكه بندي در ناحيه جواب، به عنوان روش هاي بدون شبكه شناخته مي شوند. الگوريتم هاي مورد استفاده در اين پايان نامه به سادگي مي توانند توسط نرم افزارهاي رياضي پياده سازي و به لحاظ محاسباتي، داراي كارايي بالا باشند. در پايان هر روش، با ارائه چندين مثال عددي، دقت و كارايي اين روش ها به اثبات رسيده اند.
Thesis summary
روش تربيع ديفرانسيلي بدون شبكه براي حل معادلات آب كم عمق مبتني بر توابع پايه اي شعاعي
معصومه مظهري عباسي
در اين پايان نامه، مدل هاي قوانين حفاظت با استفاده از روش عددي بدون شبكه شبيه سازي مي شوند. به طور خاص، از روش تربيع ديفرانسيلي توابع پايه اي شعاعي به همراه جداسازي مكان براي حل برخي از معادلات آب هاي كم عمق بهره مي بريم. اين روش ها از توابع شكل تقريب بدون شبكه استفاده مي كنند كه بر اساس نقاط پراكنده ساخته مي شوند و به عنوان توابع پايه در روش هم مكاني به كار مي روند. در مقايسه با روش هاي پيشين مانند اسپلاين ها يا عناصر متناهي كه نيازمند شبكه بندي هستند، روش هاي ارائه شده در اين پايان نامه به هيچ شبكه بندي احتياج ندارند، بنابراين به عنوان روش هاي بدون شبكه شناخته مي شوند. اين روش ها همچنين داراي الگوريتم هاي ساده اي هستند كه جذابيت آن ها را در حل مسائل مختلف افزايش مي دهد. علاوه بر اين، با ارائه چندين مثال عددي، كارايي و دقت اين روش ها ارزيابي و تاييد شده اند. اين پايان نامه نشان مي دهد كه روش هاي بدون شبكه مي توانند به عنوان يك ابزار مؤثر در حل مسائل مختلف مدل سازي و شبيه سازي در علوم مختلف علمي مورد استفاده قرار گيرند.
Thesis summary
كاربرد تقريب موجك هار براي حل عددي معادلات ديفرانسيل تاخيري
رويا رضايي
معادلات ديفرانسيل تاخيري در بسياري از زمينه هاي علوم و مهندسي ظاهر مي شوند. به عنوان مثال، ديناميك جمعيت، همه گيري بيماري ها، سنتيك فرآيندهاي دارويي، مسائل كنترل بهينه و ... توسط اين معادلات بيان مي شوند. تمام فرآيندها براي كامل شدن نيازمند زمان هستند، در اكثر موارد لازم است كه به طور صريح زمان هاي اين فرآيند را جهت دستيابي به مدل رياضي آن ها بيابيم. هدف ما از اين پايان نامه معرفي معادلات ديفرانسيل تاخيري و حل عددي اين گونه مسائل مي باشد. روش در نظر گرفته شده در اين پايان نامه روشي مبتني بر استفاده از موجك ها (موجك هار) است. موجك ها به دليل اينكه توابع موضعي مناسبي براي تقريب توابع هستند و ارتباط با الگوريتم هاي سريع به طور چشم گيري جايگاه خود را در روش هاي عددي براي حل سيستم هاي ديناميكي به اثبات رساندند. اين روش ها حل سيستم هاي ديناميكي را به حل يك دستگاه معادلات جبري كاهش مي دهند. استفاده از موجك ها به عنوان پايه هاي متعامد از آن جهت حائز اهميت است كه سبب مي شود دستگاه حاصل از گسسته سازي معادلات ديفرانسيل دستگاهي با ماتريس ضرايب تنك باشد كه سهم عمده اي در تسريع و كاهش هزينه ي محاسباتي حل معادلات خواهد داشت. علاوه بر اين، مثال هاي عددي ارائه شده كارايي و دقت روش پيشنهادي را تصديق مي كنند.
Thesis summary
روش هاي عددي به منظور حل مدل سرايت ويروس نقص ايمني انساني (اچ آي وي) برعليه تي سلول هاي CD4+ با استفاده از موجك ها
ليلا اسكندري
در دهه هاي اخير، بعد از شناخت ويروس نقص ايمني انسان ( HIV) و خطراتي كه بيماري ايدز براي جوامع دارد، تلاش ها براي درمان و كنترل اين بيماري آغاز شد. لنفوسيت T كمك كننده سلول اصلي است كه به آن لنفوسيت $_4^{+}$CD نيز گفته مي شود و ويروس HIV به اين سلول ها حمله و آن ها را آلوده مي كند. در همين راستا مدل هاي رياضي مختلفي براي عفونت HIV بر عليه تي سلول هاي $_4^{+}$CD ارائه شد و توسط بسياري از محققان توسعه ي اين مدل ها انجام شده است. اين مدل ها براي بيان حالت هاي مختلف از اين عفونت بيان شده اند و با بررسي اين مدل ها سعي شده روش موثري براي مقابله با اين ويروس كشنده پيدا شود. هدف ما طرح مساله ي مربوط به اين بيماري و ارائه ي يك روش حل عددي براي اين مساله مي باشد. روش در نظر گرفته شده در اين پايان نامه روشي مبتني بر استفاده از موجك ها است. موجك ها به دليل اينكه توابع موضعي مناسبي براي تقريب توابع هستند و ارتباط با الگوريتم هاي سريع به طور چشم گيري جايگاه خود را در روش هاي عددي براي حل سيستم هاي ديناميكي به اثبات رساندند. اين روش ها حل سيستم هاي ديناميكي را به حل يك دستگاه معادلات جبري كاهش مي دهند. استفاده از موجك ها به عنوان پايه هاي متعامد از آن جهت حائز اهميت است كه سبب مي شود دستگاه حاصل از گسسته سازي معادلات ديفرانسيل دستگاهي با ماتريس ضرايب تنك باشد كه سهم عمده اي در تسريع و كاهش هزينه ي محاسباتي حل معادلات خواهد داشت. علاوه بر اين، حل مدل HIV توسط موجك لژاندر و چبيشف با مرتبه صحيح و كسري مورد مطالعه قرار گرفته اند و مثال هاي عددي ارائه شده كارايي و دقت روش پيشنهادي را تصديق مي كنند
Thesis summary
روش هاي معادلات انتگرال مرزي بدون شبكه براي حل عددي معادلات لاپلاس با شرايط مرزي روبيني
زهرا سليمي گنبدي
در اين پايان نامه، به حل عددي معادلات لاپلاس دوبعدي با شرايط مرزي روبينr خطr و غيرخطr مr پردازيم. در ابتدا اين گونه از معادلات لاپلاس را با استفاده از قضيه گرين به معادلات انتگرال با هسته هاي مرزي منفرد لͽاريتمr تبديل مr كنيم. اين رويͺرد كه به دليل در برگرفتن شرايط مرزي مساله و در نتيجه بͺارگيري ساده روش هاي عددي، به عنوان روشr مهم در حل معادلات ديفرانسيل با مشتقات جزئr محسوب مr گردد، به روش معادلات انتگرال مرزي معروف مr باشد. روش هاي ارائه شده، توابع شͺل تقريب هاي بدون شبͺه را كه با استفاده از نقاط پراكنده در مرز ناحيه ي جواب معادله انتگرال ساخته شده اند، به عنوان توابع پايه اي در روش هاي تصويري گسسته بͺار مr بندند. روش هاي تصويري موجود براي حل معادلات انتگرال مرزي اغلب نيازمند آن هستند كه مرز ناحيه جواب را به قطعات كوچͷ تقسيم بندي كنيم و به صورت مجزا تقريب تابع مجهول و انتگرال گيري عددي را بر روي هر يͷ از آن ها اعمال كنند. از آنجايي كه روش هاي پيشنهادي بر روي مجموعه اي از داده هاي پراكنده ساخته شده است، به هيچ شبͺه بندي نياز ندارد و بنابراين مr توانيم آن را روش هاي بدون شبͺه بناميم. اين روش براي حل معادلات لاپلاس، ساده و موثر است و الͽوريتم آن را مr توان به راحتr پياده سازي كرد. علاوه بر اين كران خطا و نرخ همͽرايي اين روش ها به دست آورده شده است. سرانجام، مثال هاي عددي براي نشان دادن دقت و كارايي روش جديد و تاييد تخمين خطا ارائه شده است. اين پايان نامه بر اساس مراجع [3 ،4 ،6 [تنظيم شده است.
Thesis summary
الگوريتم هاي تقريبي براي حل معادلات ديفرانسيل كسري با استفاده از رويكرد معادله انتگرال ولترا
رضوان پاينده
در دهه هاي اخير استفاده از مشتقات مرتبه كسري روند روبه رشد مطلوبي در زمينه ي مدل بندي پديده هاي طبيعي به شͺل يͷ معادله ي ديفرانسيل با مشتق غيرصحيح يافته است. استفاده از نتايج به دست آمده از بررسr اين مدل ها نيازمند يافتن روش هايي براي حل معادلات ديفرانسيل كسري است. باتوجه به ساختار مشتق هاي كسري، استفاده از روش هاي تحليلي براي حل اين گونه از معادلات جز در مواردي خاص امͺان پذير نيست. بنابراين در اين پايان نامه، به بررسr روش هاي عددي به منظور حل معادلات انتگرال با مشتقات كسري از نوع خطr و غيرخطي مي پردازيم. بͺارگيري روش هاي عددي قديمr براي حل اين گونه از معادلات كاري دشوار مي باشد زيرا به منظور تقريب و انتگرال گيري نيازمند به تدابيري خاص از جمله شبكه بندي روي ناحيه ي جواب بود. بنابراين براي رهايي از اين مشͺلات، از روش هاي مبتنr بر تقريب داده هاي پراكنده استفاده مr شود كه جواب را بدون نياز به هيچ ساختار شبͺه اي تقريب مr زنند. تقريب هاي بدون شبͺه تطابق خوبي در ابعاد بالا دارند، بنابراين پيچيدگr محاسبات را در اين ابعاد افزايش نمr دهند. روش هاي ارائه شده بر اساس استفاده از توابع شͺل تقريب هاي بدون شبͺه به عنوان پايه در روش تصويري گسسته ساخته شده اند كه داراي الͽوريتمr ساده مr باشند و به راحتr مr توان آن ها را روي يͷ كامپيوتر شخصr اجرا كرد. آناليز خطا و نرخ همͽرايي براي روش هاي ارائه شده مورد مطالعه قرار گرفته است. مثال هاي عددي در نظر گرفته شده در اين پايان نامه، دقت و كارايي اين روش ها را براي انواع معادلات ديفرانسيل كسري نشان مr دهند. اين پايان نامه براساس مراجع [4–6[ تنظيم شده است.
Thesis summary
روش هاي محاسباتي به منطور حل معادلات لين-امدن غيرخطي برگرفته از اخترفيزيك
سحر پارسا
معادله لين‐امدن يͺ ͬاز پركاربردترين معادلات در حوزه ي ستاره شناسr است كه گاهr قدم در حوزه هاي ديͽر فيزيͷ نيز مr گذارد. اين معادله يͷ معادله ي ديفرانسيل مرتبه ي دوم غيرخطr با شرايط اوليه است. در اين پايان نامه، روش هاي عددي براي حل معادله ديفرانسيل غيرخطr لين‐امدن ارائه مr دهيم. اين روش ها از توابع شͺل تقريب هاي بدون شبͺه، ساخته شده بر اساس نقاط پراكنده، به عنوان پايه در روش هم مͺانr استفاده مr كنند. روش هاي پيشين همچون اسپلاين ها يا عناصر متناهr براي تعريف توابع پايه يا عناصر به يͷ شبͺه بندي نياز داشتند. در حالr كه روش هاي پيشنهادي در اين پايان نامه به هيچ شبͺه بندي نياز ندارند و بنابراين مr توان آن ها را روش هايي بدون شبͺه ناميد. روش هاي ارائه شده همچنين داراي الͽوريتمr ساده هستند كه باعث جذابيت آن ها در حل انواع مسائل مقدار اوليه مr گردد. علاوه بر اين، آناليز خطاي روش هاي ارائه شده مورد مطالعه قرار گرفته و كارايي و دقت اين روش ها توسط چندين مثال عددي بررسr و ارزيابي شده اند. اين پايان نامه بر اساس مراجع [4 ،36 [تنظيم شده است.
Thesis summary
روش هاي بدون شبكه به منظور حل معادلات انتگرال ولترا‐فردهلم مختلط برگرفته شده از مدل سرايت بيماري هاي واگيردار
اكرم نقوي
مدل سرايت بيماري هاي واگيردار براي جمعيتr پخش شده در محيطr بسته تحت يͷ سري شرايط در علم واگيرشناسr مr تواند به شͺل معادله انتگرال ولترا‐فردهلم غيرخطr نوع دوم مدل شود. در اين پايان نامه، به بررسr روش هاي عددي به منظور حل اين گونه از معادلات انتگرال مختلط زيستr مr پردازيم. بͺارگيري روش هاي قديمr براي حل اين گونه از معادلات كاري مشͺل مr باشد و به منظور تقريب و انتگرال گيري نيازمند آن هستند كه ناحيه جواب را به قطعات كوچͷ تقسيم بندي كنيم. بنابراين براي رهايي از اين شبͺه بندي ها، از روش هاي مبتنr بر تقريب داده هاي پراكنده استفاده مr شود كه جواب را بدون نياز به هيچ ساختار شبͺه اي تقريب مr زنند. به علاوه پيچيدگr محاسباتr اين روش ها افزايش پيدا نمr كند به علت برگرفته از تطابق خوب تقريب هاي بدون شبͺه براي ابعاد بالا است. روش هاي ارائه شده بر اساس استفاده از توابع پايه اي شعاعr به عنوان پايه در روش هم مͺانr ساخته شده اند كه داراي الͽوريتمr ساده مr باشند و به راحتr مr توان آن ها را روي يͷ كامپيوتر شخصr اجرا كرد. آناليز خطا و نرخ همͽرايي براي روش هاي ارائه شده مورد مطالعه قرار گرفته است. مثال هاي عددي در نظر گرفته شده در اين پايان نامه، دقت و كارايي اين روش ها را براي انواع معادلات انتگرال ولترا‐فردهلم نشان مr دهند.
Thesis summary
روش هاي تصويري گسسته بدون شبكه براي حل معادلات انتگرال و انتگرال‐ديفرانسيل ولترا
شيما صادقي
بسياري از پديده هاي واقعr در زمينه هاي مختلف علوم و مهندسr هم چون مساله ي رسانش گرما، فيزيͷ پلاسما، جريان خطr غير يͺنواخت، تئوري شͺست و رشد جمعيت مr توانند به صورت يͷ معادله ي انتگرال يا انتگرال‐ديفرانسيل ولترا مدل بندي شوند. در اين پايان نامه، روش هاي عددي به منظور حل اين گونه از معادلات مهم رياضr ارائه مr شوند. اين روش ها عموما توابع شͺل تقريب هاي بدون شبͺه، ساخته شده بر مبناي نقاط پراكنده، را به عنوان پايه ي روش هاي تصويري گسسته مورد استفاده قرار مr دهند. به كار گيري روش هاي قديمr براي حل اين گونه از معادلات با افزايش بعد مساله با مشͺلاتr روبه رو مr شدند و در بسياري از موارد براي تقريب و يا انتگرال گيري نياز به شبͺه بندي داشتند. در صورتr كه روش هاي پيشنهاد شده در اين پايان نامه نياز به هيچ شبͺه بندي ندارند و با افزايش بعد پيچيدگr محاسباتr روش نيز افزايش پيدا نمr كند، كه اين برگرفته از تطابق خوب تقريب هاي بدون شبͺه براي ابعاد بالا است. الͽوريتم اين روش ها به راحتr قابل به كار گيري روي يͷ كامپيوتر شخصr با مشخصات معمولr هستند. علاوه بر اين آناليز خطاي روش هاي در نظر گرفته شده نيز بررسr شده اند. كارايي و اعتبار روش هاي پيشنهاد شده توسط چندين مثال عددي مورد ارزيابي قرار گرفته و نتايج بدست آمده از اين قسمت، تئوري آناليز خطا را تصديق مr كنند.
Thesis summary
حل تقريبي معادلات انتگرال‐ديفرانسيل برگرفته شده از حركت ذره ي باردار در ميدان هاي مغناطيسي نوساني
نرگس حمزه
حركت ذرات باردار تحت يͷ ميدان مغناطيسr نوسانr مr تواند توسط يͷ معادله انتگرال‐ديفرانسيل ولتراي مرتبه دوم با ضرايب متناوب شبيه سازي شود. هدف اصلr اين پايان نامه ، به دست آوردن روش هاي دقيق و كارا به منظور حل تقريبي اين گونه از معادلات انتگرال‐ديفرانسيل ولترا است. براي شروع اين روش ها، با انتگرال گيري كردن از طرفين معادلات انتگرال‐ديفرانسيل، آن ها را به معادلات انتگرال ولتراي نوع دوم نظير تبديل مr كنيم. سپس جواب معادلات انتگرال به دست آمده، با استفاده از روش هاي تصويري گسسته بر پايه تقريب داده هاي پراكنده ارزيابي مr شوند. اين گونه از تقريب ها در انواع مختلفr ظاهر مr گردند كه شناخته شده ترين آن ها در كتب و مقالات، معروف به توابع پايه اي شعاعr و كمترين مربعات متحرك هستند. روش انتگرال گيري عددي گوس‐لژاندر مركب براي تقريب انتگرال هاي ظاهرشده در روش هاي ارائه شده، مورد استفاده قرار مr گيرند. از آن جايي كه اين روش ها از هيچ شبͺه بندي روي ناحيه جواب استفاده نمr كنند، روش هايي بدون شبͺه محسوب مr شوند. الͽوريتم روش هاي مورد بحث در اين پايان نامه، مr توانند به راحتr توسط يͷ نرم افزار رياضr كدنويسr شوند و از نظر محاسباتr ساده و جذاب هستند. در پايان توضيحات هر روش، به منظور نشان دادن دقت و اطمينان پذيري اين روش ها چندين مثال عددي ارائه شده است.
Thesis summary
روش پتروف-گلركين موضعي بدون شبكه مستقيم براي حل عددي معادلات ديفرانسيل با مشتقات جزئي
عاطفه رجبي
از جمله روش هاي محاسباتي مهم به منظور حل دسته وسيعي از مسائل مقدار مرزي روش هاي بدون شبكه هستند كه جواب را بدون هيچ گونه شبكه بندي روي ناحيه تقريب مي زنند. هدف اصلي اين پايان نامه به دست آوردن روشي عددي با استفاده از تقريب كمترين مربعات متحرك تعميم يافته است كه معروف به روش پتروف‐گلركين موضعي بدون شبكه مستقيم است. روش كمترين مربعات متحرك بر پايه ي داده هاي پراكنده مي باشد و با استفاده از كمترين مربعات موضعي چندجمله اي به تقريب يك تابع مي پردازد. اين روش بر مبناي تقريب، بر روي همسايگي ͬكوچك ͬاز نقاط است و فقط از اطلاعات موجود در اين همسايگيبه منظور برآورد تابع استفاده مي كند. هزينه محاسباتي پايين، نقطه قوت روش مورد بحث در اين پايان نامه نسبت به ساير روش هاي بدون شبكه است، اين ويژگي از آن جا نشأت مي گيرد كه اين روش انتگرال گيري را بر روي توابع شكل، به روي چندجمله اي هايي با درجه پايين انجام مي دهد. مثال هاي عددي در نظر گرفته شده به وضوح كارايي و اعتبار روش ارائه شده را نشان مي دهند همچنين اين نتايج برتري روش را از نظر هزينه و زمان محاسبات نسبت به ساير روش هاي كلاسيك پتروف‐گلركين بدون شبكه نيز به اثبات مي رسانند
Thesis summary
حل عددي معادلات انتگرال و انتگرال-ديفرانسيل فردهلم با استفاده از روش كمترين مربعات متحرك
زهرا صفي كيكله
در اين پاياننامه به بررسي روشهاي عددي به منظور حل معادلات انتگرال دوبعدي بر نواحي غيرمربعي، معادلات انتگرال-ديفرانسيل فردهلم نوع دوم و معادلات انتگرال منفرد ضعيف ميپردازيم. روشهاي ارائه شده، توابع شكل تقريب كمترين مربعات متحرك ساخته شده بر نقاط پراكنده را به عنوان پايه بر روشهاي گلركين و هممكاني گسسته بكار ميگيرند. روش كمترين مربعات متحرك به عنوان يك الگوريتم مؤثر براي تقريب تابع مجهول شناخته ميشود كه شامل برازش چندجملهاي كمترين مربعات وزني موضعي است. روشهاي گسسته از محاسبهي تقريبي تمامي انتگرالهاي ظاهر شده در روش حاصل ميشود كه در اينجا روشهاي گوس-لژاندر مركب را به منظور محاسبه ي اين انتگرالها برگزيدهايم. از آنجايي كه روشهاي پيشنهاد شده از هيچ شبكه بندي براي حل اين گونه از معادلات استفاده نميكنند، روشهاي بدون شبكه محسوب مي شوند و در نتيجه به شكل هندسي ناحيه جواب نيز بستگ ͬندارد. بعلاوه آناليز خطا و نرخ همگرايي براي اين روشها مورد مطالعه قرار گرفتهاند. همچنين به منظور نشان دادن اعتبار و كارايي روشهاي ارائه شده مثالهاي عددي متنوعي در نظر گرفته شده است.
Thesis summary
روش هاي موضعي بدون شبكه براي حل عددي معادلات ديفرانسيل با مشتقات جزئي و معادلات انتگرال
فاطمه اسدي مهرگان
در اين پايان نامه به بررسي روش هاي عددي به منظور حل انواع معادلات انتگرال و معادلات ديفرانسيل با مشتقات جزئي مي پردازيم. به منظور بكارگيري روش هاي هم مكاني براي اين معادلات، به ويژه در حالت دو بعدي، بايد ناحيه ي جواب را به قطعات كوچك مجزا تقسيم بندي كنيم. بنابراين براي رهايي از اين شبكه بندي ها ما از روش هاي مبتني بر تقريب داده هاي پراكنده استفاده مي كنيم كه يك تابع را بدون هيچ ساختار شبكه اي تقريب مي زنند. روش هاي ارائه شده بر اساس استفاده از توابع پايه اي شعاعي موضعي به عنوان پايه در روش هم مكاني مي باشند. توابع پايه اي شعاعي موضعي، برخلاف انواع سراسري آن ها با استفاده از مجموعه ي كوچك از داده هاي پراكنده در دامنه حل به تقريب تابع مجهول مي پردازند كه اين كار سبب مي شود روش هاي ايجاد شده داراي پايداري بيشتر و هزينه محاسباتي كمتري نسبت به توابع شعاعي سراسري باشند. همچنين آناليزخطا و نرخ همگرايي براي روش ارائه شده مورد مطالعه قرار گرفته است. به علاوه مثال هاي عددي در نظر گرفته شده در اين پايان نامه، دقت و كارايي اين روش ها را براي انواع معادلات انتگرال و معادلات ديفرانسيل با مشتقات جزئي نشان مي دهند.
Thesis summary
مطالعه معادله حالت انرژي تاريك در تقريب پده
سعيد پوراجاقي
در اين پايان نامه به بررسي معادله حالت انرژي تاريك در تقريب پده مي پردازيم
Thesis summary
معرفي فضاهاي هيلبرت محلي براي توابع پايه اي شعاعي
طاهره تركمند
در اين پايان نامه به معرفي دسته جديدي از فضاهاي هيلبرت حقيقي خواهيم پرداخت كه توسط توابع پيوسته بر يك ناحيه از فضاي R تعريف اين فضاي هيلبرت توسط هسته ي بازسازي كننده ي آن ايجاد مي شود و آن را فضاي هيلبرت محلي مي نامند. توابع هسته ي بازسازي كننده، از توابع معين مثبت و توابع پايه اي شعاعي انتخاب شده اند و در نهايت به مثال هايي از فضاي هيلبرت محلي به كمك تبديل فوريه اشاره خواهيم كرد.
Thesis summary