پوریا عصاری

در این پایان نامه، یک مدل ریاضی جدید برای درمان تومورها، از جمله تومورهای مغزی تحت پرتودرمانی، براساس معادله واکنش-انتشار برگرفته از مدل سوانسون ارائه می شود. این مدل ریاضی به منظور بررسی رفتار تومورها و تاثیر تراکم سلول ها در مغز، با استفاده از روش بدون شبکه در دو فضای مختلف (یک مربع و یک کره) تقریب زده می شود. برای تقریب زمان در مدل مورد مطالعه، از طرح اویلر نیمه- ضمنی پسرو مرتبه اول استفاده می گردد. این طرح باعث می شود تا معادلات مرتبط به زمان کاملاً گسسته شده و در هر مرحله زمانی به یک دستگاه خطی از معادلات جبری تبدیل شوند. یکی از ویژگی های برجسته این مدل عددی، استفاده از روش بدون شبکه است که به طور کامل بدون نیاز به شبکه پس زمینه یا مثلثی برای تقریب مکانی عمل می کند. علاوه بر این، این روش با استفاده از مجموعه های نقاط پراکنده به راحتی در دامنه کره نیز قابل اعمال است. نتایج این پایان نامه نشان می دهند که چگونه تومورهای مغزی در صورت عدم درمان و تحت تاثیر پرتودرمانی با استفاده از داده های بالینی و تخمینی رشد می کنند. قابل ذکر است که نتایج این پایان نامه قابل استفاده در بهبود راهکارهای درمانی برای تومورهای مغزی مهاجم نیز هستند.

در حوزه علوم پزشکی و بیولوژیکی، مدل سازی ریاضی رشد سلول های سرطانی به عنوان یکی از مسائل حیاتی شناخته می شود. در این پایان نامه، یک رویکرد بدون شبکه بر پایه فرم ضعیف، به نام گلرکین المان آزاد، برای حل عددی مدل سازی ریاضی تهاجم سلول های سرطانی به بافت ارائه می دهیم. مدل مورد مطالعه در این تحقیق شامل یک دستگاه از معادلات دیفرانسیل جزئی واکنش-انتشار وابسته به زمان است که تعاملات پیچیده بین سلول های سرطانی، ماتریکس خارج سلولی و آنزیم های تخریب ماتریکس را مدل سازی می کند. در اینجا، از روش تفاضلات متناهی نیمه-ضمنی مبتنی بر اویلر پسرو نیز برای تخمین متغیرهای زمانی استفاده می کنیم. رویکرد پیشنهادی ما بر اساس مجموعه ای از نقاط پراکنده در دامنه مساله توسعه یافته است. در نهایت، ما شبیه سازی های عددی جهت تجسم رفتار تهاجم سلول های سرطانی به بافت در زمان های مختلف با استفاده از نقاط پراکنده ارائه می دهیم که کارایی و دقت روش پیشنهادی را تایید می کند.

معادلات انتگرال-دیفرانسیل مختلط ولترا-فردهلم در بسیاری از علوم زیستی، مهندسی، فیزیک وغیره کاربرد فراوانی دارند. هدف اصلی این پایان نامه، حل این گونه معادلات با استفاده از روش های عددی است. ابتدا با انجام عملیات انتگرال گیری از طرفین معادلات انتگرال-دیفرانسیل، آن ها به معادلات انتگرال مختلط نوع دوم تبدیل می شوند. سپس با اعمال روش های تصویری گسسته بر اساس تقریب داده های پراکنده، جواب معادلات انتگرال بدست می آید. این تقریب ها در اشکال متنوعی مشاهده می شوند که محبوب ترین آن ها، توابع پایه ای شعاعی هستند. برای تقریب انتگرال های ظاهرشده در روش های ارائه شده، از روش انتگرال گیری عددی گاوس-لژاندر استفاده می شود. این روش ها به دلیل عدم نیاز به استفاده از شبکه بندی در ناحیه جواب، به عنوان روش های بدون شبکه شناخته می شوند. الگوریتم های مورد استفاده در این پایان نامه به سادگی می توانند توسط نرم افزارهای ریاضی پیاده سازی و به لحاظ محاسباتی، دارای کارایی بالا باشند. در پایان هر روش، با ارائه چندین مثال عددی، دقت و کارایی این روش ها به اثبات رسیده اند.

در این پایان نامه، مدل های قوانین حفاظت با استفاده از روش عددی بدون شبکه شبیه سازی می شوند. به طور خاص، از روش تربیع دیفرانسیلی توابع پایه ای شعاعی به همراه جداسازی مکان برای حل برخی از معادلات آب های کم عمق بهره می بریم. این روش ها از توابع شکل تقریب بدون شبکه استفاده می کنند که بر اساس نقاط پراکنده ساخته می شوند و به عنوان توابع پایه در روش هم مکانی به کار می روند. در مقایسه با روش های پیشین مانند اسپلاین ها یا عناصر متناهی که نیازمند شبکه بندی هستند، روش های ارائه شده در این پایان نامه به هیچ شبکه بندی احتیاج ندارند، بنابراین به عنوان روش های بدون شبکه شناخته می شوند. این روش ها همچنین دارای الگوریتم های ساده ای هستند که جذابیت آن ها را در حل مسائل مختلف افزایش می دهد. علاوه بر این، با ارائه چندین مثال عددی، کارایی و دقت این روش ها ارزیابی و تایید شده اند. این پایان نامه نشان می دهد که روش های بدون شبکه می توانند به عنوان یک ابزار موثر در حل مسائل مختلف مدل سازی و شبیه سازی در علوم مختلف علمی مورد استفاده قرار گیرند.

معادلات دیفرانسیل تاخیری در بسیاری از زمینه های علوم و مهندسی ظاهر می شوند. به عنوان مثال، دینامیک جمعیت، همه گیری بیماری ها، سنتیک فرآیندهای دارویی، مسائل کنترل بهینه و ... توسط این معادلات بیان می شوند. تمام فرآیندها برای کامل شدن نیازمند زمان هستند، در اکثر موارد لازم است که به طور صریح زمان های این فرآیند را جهت دستیابی به مدل ریاضی آن ها بیابیم. هدف ما از این پایان نامه معرفی معادلات دیفرانسیل تاخیری و حل عددی این گونه مسائل می باشد. روش در نظر گرفته شده در این پایان نامه روشی مبتنی بر استفاده از موجک ها (موجک هار) است. موجک ها به دلیل اینکه توابع موضعی مناسبی برای تقریب توابع هستند و ارتباط با الگوریتم های سریع به طور چشم گیری جایگاه خود را در روش های عددی برای حل سیستم های دینامیکی به اثبات رساندند. این روش ها حل سیستم های دینامیکی را به حل یک دستگاه معادلات جبری کاهش می دهند. استفاده از موجک ها به عنوان پایه های متعامد از آن جهت حائز اهمیت است که سبب می شود دستگاه حاصل از گسسته سازی معادلات دیفرانسیل دستگاهی با ماتریس ضرایب تنک باشد که سهم عمده ای در تسریع و کاهش هزینه ی محاسباتی حل معادلات خواهد داشت. علاوه بر این، مثال های عددی ارائه شده کارایی و دقت روش پیشنهادی را تصدیق می کنند.

در دهه های اخیر، بعد از شناخت ویروس نقص ایمنی انسان ( HIV) و خطراتی که بیماری ایدز برای جوامع دارد، تلاش ها برای درمان و کنترل این بیماری آغاز شد. لنفوسیت T کمک کننده سلول اصلی است که به آن لنفوسیت $_4^{+}$CD نیز گفته می شود و ویروس HIV به این سلول ها حمله و آن ها را آلوده می کند. در همین راستا مدل های ریاضی مختلفی برای عفونت HIV بر علیه تی سلول های $_4^{+}$CD ارائه شد و توسط بسیاری از محققان توسعه ی این مدل ها انجام شده است. این مدل ها برای بیان حالت های مختلف از این عفونت بیان شده اند و با بررسی این مدل ها سعی شده روش موثری برای مقابله با این ویروس کشنده پیدا شود. هدف ما طرح مساله ی مربوط به این بیماری و ارائه ی یک روش حل عددی برای این مساله می باشد. روش در نظر گرفته شده در این پایان نامه روشی مبتنی بر استفاده از موجک ها است. موجک ها به دلیل اینکه توابع موضعی مناسبی برای تقریب توابع هستند و ارتباط با الگوریتم های سریع به طور چشم گیری جایگاه خود را در روش های عددی برای حل سیستم های دینامیکی به اثبات رساندند. این روش ها حل سیستم های دینامیکی را به حل یک دستگاه معادلات جبری کاهش می دهند. استفاده از موجک ها به عنوان پایه های متعامد از آن جهت حائز اهمیت است که سبب می شود دستگاه حاصل از گسسته سازی معادلات دیفرانسیل دستگاهی با ماتریس ضرایب تنک باشد که سهم عمده ای در تسریع و کاهش هزینه ی محاسباتی حل معادلات خواهد داشت. علاوه بر این، حل مدل HIV توسط موجک لژاندر و چبیشف با مرتبه صحیح و کسری مورد مطالعه قرار گرفته اند و مثال های عددی ارائه شده کارایی و دقت روش پیشنهادی را تصدیق می کنند

در این پایان نامه، به حل عددی معادلات لاپلاس دوبعدی با شرایط مرزی روبینr خطr و غیرخطr مr پردازیم. در ابتدا این گونه از معادلات لاپلاس را با استفاده از قضیه گرین به معادلات انتگرال با هسته های مرزی منفرد لͽاریتمr تبدیل مr کنیم. این رویͺرد که به دلیل در برگرفتن شرایط مرزی مساله و در نتیجه بͺارگیری ساده روش های عددی، به عنوان روشr مهم در حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئr محسوب مr گردد، به روش معادلات انتگرال مرزی معروف مr باشد. روش های ارائه شده، توابع شͺل تقریب های بدون شبͺه را که با استفاده از نقاط پراکنده در مرز ناحیه ی جواب معادله انتگرال ساخته شده اند، به عنوان توابع پایه ای در روش های تصویری گسسته بͺار مr بندند. روش های تصویری موجود برای حل معادلات انتگرال مرزی اغلب نیازمند آن هستند که مرز ناحیه جواب را به قطعات کوچͷ تقسیم بندی کنیم و به صورت مجزا تقریب تابع مجهول و انتگرال گیری عددی را بر روی هر یͷ از آن ها اعمال کنند. از آنجایی که روش های پیشنهادی بر روی مجموعه ای از داده های پراکنده ساخته شده است، به هیچ شبͺه بندی نیاز ندارد و بنابراین مr توانیم آن را روش های بدون شبͺه بنامیم. این روش برای حل معادلات لاپلاس، ساده و موثر است و الͽوریتم آن را مr توان به راحتr پیاده سازی کرد. علاوه بر این کران خطا و نرخ همͽرایی این روش ها به دست آورده شده است. سرانجام، مثال های عددی برای نشان دادن دقت و کارایی روش جدید و تایید تخمین خطا ارائه شده است. این پایان نامه بر اساس مراجع [3 ،4 ،6 [تنظیم شده است.

معادله لین‐امدن یͺ ͬاز پرکاربردترین معادلات در حوزه ی ستاره شناسr است که گاهr قدم در حوزه های دیͽر فیزیͷ نیز مr گذارد. این معادله یͷ معادله ی دیفرانسیل مرتبه ی دوم غیرخطr با شرایط اولیه است. در این پایان نامه، روش های عددی برای حل معادله دیفرانسیل غیرخطr لین‐امدن ارائه مr دهیم. این روش ها از توابع شͺل تقریب های بدون شبͺه، ساخته شده بر اساس نقاط پراکنده، به عنوان پایه در روش هم مͺانr استفاده مr کنند. روش های پیشین همچون اسپلاین ها یا عناصر متناهr برای تعریف توابع پایه یا عناصر به یͷ شبͺه بندی نیاز داشتند. در حالr که روش های پیشنهادی در این پایان نامه به هیچ شبͺه بندی نیاز ندارند و بنابراین مr توان آن ها را روش هایی بدون شبͺه نامید. روش های ارائه شده همچنین دارای الͽوریتمr ساده هستند که باعث جذابیت آن ها در حل انواع مسائل مقدار اولیه مr گردد. علاوه بر این، آنالیز خطای روش های ارائه شده مورد مطالعه قرار گرفته و کارایی و دقت این روش ها توسط چندین مثال عددی بررسr و ارزیابی شده اند. این پایان نامه بر اساس مراجع [4 ،36 [تنظیم شده است.

در دهه های اخیر استفاده از مشتقات مرتبه کسری روند روبه رشد مطلوبی در زمینه ی مدل بندی پدیده های طبیعی به شͺل یͷ معادله ی دیفرانسیل با مشتق غیرصحیح یافته است. استفاده از نتایج به دست آمده از بررسr این مدل ها نیازمند یافتن روش هایی برای حل معادلات دیفرانسیل کسری است. باتوجه به ساختار مشتق های کسری، استفاده از روش های تحلیلی برای حل این گونه از معادلات جز در مواردی خاص امͺان پذیر نیست. بنابراین در این پایان نامه، به بررسr روش های عددی به منظور حل معادلات انتگرال با مشتقات کسری از نوع خطr و غیرخطی می پردازیم. بͺارگیری روش های عددی قدیمr برای حل این گونه از معادلات کاری دشوار می باشد زیرا به منظور تقریب و انتگرال گیری نیازمند به تدابیری خاص از جمله شبکه بندی روی ناحیه ی جواب بود. بنابراین برای رهایی از این مشͺلات، از روش های مبتنr بر تقریب داده های پراکنده استفاده مr شود که جواب را بدون نیاز به هیچ ساختار شبͺه ای تقریب مr زنند. تقریب های بدون شبͺه تطابق خوبی در ابعاد بالا دارند، بنابراین پیچیدگr محاسبات را در این ابعاد افزایش نمr دهند. روش های ارائه شده بر اساس استفاده از توابع شͺل تقریب های بدون شبͺه به عنوان پایه در روش تصویری گسسته ساخته شده اند که دارای الͽوریتمr ساده مr باشند و به راحتr مr توان آن ها را روی یͷ کامپیوتر شخصr اجرا کرد. آنالیز خطا و نرخ همͽرایی برای روش های ارائه شده مورد مطالعه قرار گرفته است. مثال های عددی در نظر گرفته شده در این پایان نامه، دقت و کارایی این روش ها را برای انواع معادلات دیفرانسیل کسری نشان مr دهند. این پایان نامه براساس مراجع [4–6[ تنظیم شده است.

مدل سرایت بیماری های واگیردار برای جمعیتr پخش شده در محیطr بسته تحت یͷ سری شرایط در علم واگیرشناسr مr تواند به شͺل معادله انتگرال ولترا‐فردهلم غیرخطr نوع دوم مدل شود. در این پایان نامه، به بررسr روش های عددی به منظور حل این گونه از معادلات انتگرال مختلط زیستr مr پردازیم. بͺارگیری روش های قدیمr برای حل این گونه از معادلات کاری مشͺل مr باشد و به منظور تقریب و انتگرال گیری نیازمند آن هستند که ناحیه جواب را به قطعات کوچͷ تقسیم بندی کنیم. بنابراین برای رهایی از این شبͺه بندی ها، از روش های مبتنr بر تقریب داده های پراکنده استفاده مr شود که جواب را بدون نیاز به هیچ ساختار شبͺه ای تقریب مr زنند. به علاوه پیچیدگr محاسباتr این روش ها افزایش پیدا نمr کند به علت برگرفته از تطابق خوب تقریب های بدون شبͺه برای ابعاد بالا است. روش های ارائه شده بر اساس استفاده از توابع پایه ای شعاعr به عنوان پایه در روش هم مͺانr ساخته شده اند که دارای الͽوریتمr ساده مr باشند و به راحتr مr توان آن ها را روی یͷ کامپیوتر شخصr اجرا کرد. آنالیز خطا و نرخ همͽرایی برای روش های ارائه شده مورد مطالعه قرار گرفته است. مثال های عددی در نظر گرفته شده در این پایان نامه، دقت و کارایی این روش ها را برای انواع معادلات انتگرال ولترا‐فردهلم نشان مr دهند.

حرکت ذرات باردار تحت یͷ میدان مغناطیسr نوسانr مr تواند توسط یͷ معادله انتگرال‐دیفرانسیل ولترای مرتبه دوم با ضرایب متناوب شبیه سازی شود. هدف اصلr این پایان نامه ، به دست آوردن روش های دقیق و کارا به منظور حل تقریبی این گونه از معادلات انتگرال‐دیفرانسیل ولترا است. برای شروع این روش ها، با انتگرال گیری کردن از طرفین معادلات انتگرال‐دیفرانسیل، آن ها را به معادلات انتگرال ولترای نوع دوم نظیر تبدیل مr کنیم. سپس جواب معادلات انتگرال به دست آمده، با استفاده از روش های تصویری گسسته بر پایه تقریب داده های پراکنده ارزیابی مr شوند. این گونه از تقریب ها در انواع مختلفr ظاهر مr گردند که شناخته شده ترین آن ها در کتب و مقالات، معروف به توابع پایه ای شعاعr و کمترین مربعات متحرک هستند. روش انتگرال گیری عددی گوس‐لژاندر مرکب برای تقریب انتگرال های ظاهرشده در روش های ارائه شده، مورد استفاده قرار مr گیرند. از آن جایی که این روش ها از هیچ شبͺه بندی روی ناحیه جواب استفاده نمr کنند، روش هایی بدون شبͺه محسوب مr شوند. الͽوریتم روش های مورد بحث در این پایان نامه، مr توانند به راحتr توسط یͷ نرم افزار ریاضr کدنویسr شوند و از نظر محاسباتr ساده و جذاب هستند. در پایان توضیحات هر روش، به منظور نشان دادن دقت و اطمینان پذیری این روش ها چندین مثال عددی ارائه شده است.

بسیاری از پدیده های واقعr در زمینه های مختلف علوم و مهندسr هم چون مساله ی رسانش گرما، فیزیͷ پلاسما، جریان خطr غیر یͺنواخت، تئوری شͺست و رشد جمعیت مr توانند به صورت یͷ معادله ی انتگرال یا انتگرال‐دیفرانسیل ولترا مدل بندی شوند. در این پایان نامه، روش های عددی به منظور حل این گونه از معادلات مهم ریاضr ارائه مr شوند. این روش ها عموما توابع شͺل تقریب های بدون شبͺه، ساخته شده بر مبنای نقاط پراکنده، را به عنوان پایه ی روش های تصویری گسسته مورد استفاده قرار مr دهند. به کار گیری روش های قدیمr برای حل این گونه از معادلات با افزایش بعد مساله با مشͺلاتr روبه رو مr شدند و در بسیاری از موارد برای تقریب و یا انتگرال گیری نیاز به شبͺه بندی داشتند. در صورتr که روش های پیشنهاد شده در این پایان نامه نیاز به هیچ شبͺه بندی ندارند و با افزایش بعد پیچیدگr محاسباتr روش نیز افزایش پیدا نمr کند، که این برگرفته از تطابق خوب تقریب های بدون شبͺه برای ابعاد بالا است. الͽوریتم این روش ها به راحتr قابل به کار گیری روی یͷ کامپیوتر شخصr با مشخصات معمولr هستند. علاوه بر این آنالیز خطای روش های در نظر گرفته شده نیز بررسr شده اند. کارایی و اعتبار روش های پیشنهاد شده توسط چندین مثال عددی مورد ارزیابی قرار گرفته و نتایج بدست آمده از این قسمت، تئوری آنالیز خطا را تصدیق مr کنند.

در این پایاننامه به بررسی روشهای عددی به منظور حل معادلات انتگرال دوبعدی بر نواحی غیرمربعی، معادلات انتگرال-دیفرانسیل فردهلم نوع دوم و معادلات انتگرال منفرد ضعیف میپردازیم. روشهای ارائه شده، توابع شکل تقریب کمترین مربعات متحرک ساخته شده بر نقاط پراکنده را به عنوان پایه بر روشهای گلرکین و هممکانی گسسته بکار میگیرند. روش کمترین مربعات متحرک به عنوان یک الگوریتم موثر برای تقریب تابع مجهول شناخته میشود که شامل برازش چندجملهای کمترین مربعات وزنی موضعی است. روشهای گسسته از محاسبهی تقریبی تمامی انتگرالهای ظاهر شده در روش حاصل میشود که در اینجا روشهای گوس-لژاندر مرکب را به منظور محاسبه ی این انتگرالها برگزیدهایم. از آنجایی که روشهای پیشنهاد شده از هیچ شبکه بندی برای حل این گونه از معادلات استفاده نمیکنند، روشهای بدون شبکه محسوب می شوند و در نتیجه به شکل هندسی ناحیه جواب نیز بستگ ͬندارد. بعلاوه آنالیز خطا و نرخ همگرایی برای این روشها مورد مطالعه قرار گرفتهاند. همچنین به منظور نشان دادن اعتبار و کارایی روشهای ارائه شده مثالهای عددی متنوعی در نظر گرفته شده است.

از جمله روش های محاسباتی مهم به منظور حل دسته وسیعی از مسائل مقدار مرزی روش های بدون شبکه هستند که جواب را بدون هیچ گونه شبکه بندی روی ناحیه تقریب می زنند. هدف اصلی این پایان نامه به دست آوردن روشی عددی با استفاده از تقریب کمترین مربعات متحرک تعمیم یافته است که معروف به روش پتروف‐گلرکین موضعی بدون شبکه مستقیم است. روش کمترین مربعات متحرک بر پایه ی داده های پراکنده می باشد و با استفاده از کمترین مربعات موضعی چندجمله ای به تقریب یک تابع می پردازد. این روش بر مبنای تقریب، بر روی همسایگی ͬکوچک ͬاز نقاط است و فقط از اطلاعات موجود در این همسایگیبه منظور برآورد تابع استفاده می کند. هزینه محاسباتی پایین، نقطه قوت روش مورد بحث در این پایان نامه نسبت به سایر روش های بدون شبکه است، این ویژگی از آن جا نشات می گیرد که این روش انتگرال گیری را بر روی توابع شکل، به روی چندجمله ای هایی با درجه پایین انجام می دهد. مثال های عددی در نظر گرفته شده به وضوح کارایی و اعتبار روش ارائه شده را نشان می دهند همچنین این نتایج برتری روش را از نظر هزینه و زمان محاسبات نسبت به سایر روش های کلاسیک پتروف‐گلرکین بدون شبکه نیز به اثبات می رسانند

در این پایان نامه به بررسی روش های عددی به منظور حل انواع معادلات انتگرال و معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی می پردازیم. به منظور بکارگیری روش های هم مکانی برای این معادلات، به ویژه در حالت دو بعدی، باید ناحیه ی جواب را به قطعات کوچک مجزا تقسیم بندی کنیم. بنابراین برای رهایی از این شبکه بندی ها ما از روش های مبتنی بر تقریب داده های پراکنده استفاده می کنیم که یک تابع را بدون هیچ ساختار شبکه ای تقریب می زنند. روش های ارائه شده بر اساس استفاده از توابع پایه ای شعاعی موضعی به عنوان پایه در روش هم مکانی می باشند. توابع پایه ای شعاعی موضعی، برخلاف انواع سراسری آن ها با استفاده از مجموعه ی کوچک از داده های پراکنده در دامنه حل به تقریب تابع مجهول می پردازند که این کار سبب می شود روش های ایجاد شده دارای پایداری بیشتر و هزینه محاسباتی کمتری نسبت به توابع شعاعی سراسری باشند. همچنین آنالیزخطا و نرخ همگرایی برای روش ارائه شده مورد مطالعه قرار گرفته است. به علاوه مثال های عددی در نظر گرفته شده در این پایان نامه، دقت و کارایی این روش ها را برای انواع معادلات انتگرال و معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی نشان می دهند.

در این پایان نامه به بررسی معادله حالت انرژی تاریک در تقریب پده می پردازیم

در این پایان نامه به معرفی دسته جدیدی از فضاهای هیلبرت حقیقی خواهیم پرداخت که توسط توابع پیوسته بر یک ناحیه از فضای R تعریف این فضای هیلبرت توسط هسته ی بازسازی کننده ی آن ایجاد می شود و آن را فضای هیلبرت محلی می نامند. توابع هسته ی بازسازی کننده، از توابع معین مثبت و توابع پایه ای شعاعی انتخاب شده اند و در نهایت به مثال هایی از فضای هیلبرت محلی به کمک تبدیل فوریه اشاره خواهیم کرد.