فرهاد جعفرپورهمدانی

بطور معمول برای ساده سازی و مدل سازی سامانه های دور از تعادل از فرآیندهای مارکوف استفاده می شود. موضوعی که به تازگی مورد توجه قرار گرفته است مسئله شرطی سازی فرآیندهای مارکوف بر روی یک مقدار غیرنوعی مشاهده پذیر دینامیکی فزونور زمانی است. برای بررسی این موضوع از مفهوم مجموعه آماری مسیرها و نظریه انحراف بزرگ بطور گسترده استفاده شده است.

اغلب تصور میشود که مولدهای تصادفی فرایندهای موثر مربوط به دینامیک غیر شرطی رخدادهای نادر شامل برهمکنشهای بلند برد هستند. اما میتوان نشان داد که موارد خاصی وجود دارند که این مولدها شامل برهمکنشهای کوتاه برد هستند. در این پایان نامه ما این موارد را بررسی می کنیم به این ترتیب که سیستمهایی از ذرات کلاسیکی را که روی یک شبکه یک بعدی با مرزهای باز حرکت میکنند درنظر میگیریم . نشان می دهیم که تحت قیود خاصی روی قوانین مربوط به واکنشهای میکروسکپی، مولد تصادفی فرآیند غیر شرطی کوتاه برد و وابسته به سایت هستند.

در این رساله ویژگیهای مربوط به مولدهای تصادفی در فرایندهای موثر متناظر با مقادیر غیرنوعی دسته ای از جریانهای جمع شونده زمانی و تابع گذار در فرایندهای پرشی مارکوف را مورد مطالعه قرار دادهایم که دارای تقارن گالاووتی-کوهن هستند. در واقع جریانهای انتروپیکی را در نظر گرفتهایم که مقدار نوعی آنها با مقدار نوعی نرخ تولید انتروپی در محیط متناسب بوده و ثابت تناسب، که آن را E با نشان میدهیم، میدان همیوغ جریان نام دارد. با انتخاب این جریانها بعنوان مشاهدپذیرهای دینامیکی مورد مطالعه و با استفاده از مفهوم مجموعه آماری بایاسشده مسیرها با میدان شمارنده ، که به مجموعه آماری شهرت دارد، نشان دادهایم که مولدهای تصادفی در فرایندهای موثر متناظر با مقادیر s و E-s از میدان شمارنده، نسبت به یکدیگر این انتیودرومیک هستند. همچنین درستی نتایج بدست آمده را با ارائه یک مثال دقیقاً حل پذیر مورد بررسی قرار دادهایم. مثال در نظر گرفته شده یک فرایند خلق و فنا در سامانهای کلاسیکی از ذرات با برهم کنشهای نزدیکترین همسایه روی زنجیرهای یک بعدی با مرزهای انعکاسی است که حالت پایای آن قبلاً بطور دقیق محاسبه شده است. در این مثال نشان دادهایم که چگونه میتوان اطلاعات مربوط به فرایند موثر در نقطه s=E را تنها با در دست داشتن اطلاعات حالت پایای سامانه، که به نقطه s=0 مربوط میشود، بدست آورد. بعلاوه دریافته ایم که برهم کنشهای موثر در نقطه s=E برخلاف برهم کنشها در فرایند اصلی، از نوع نزدیکترین همسایه نبوده و میتوانند بسیار پیچیده باشند. این درحالی است که هر دو فرایند دارای توزیع احتمال حالت پایای یکسانی هستند.

فرایندهای مارکوف در مدلسازی بسیاری از سامانه های تصادفی مهم مورد استفاده قرار میگیرند. در سالهای اخیر مسئله شرطی سازی یک فرایند مارکوف روی یک رخداد نادر از نوع انحراف بزرگ مورد توجه خاصی قرار گرفته است. این کار به معنی مقید کردن مقدار یک مشاهده پذیر دینامیکی روی یکی از مقادیر غیرنوعی آن است. از طرف دیگر یک فرایند غیرشرطی، معروف به فرایند موثر یا واداشته، وجود دارد که در آن این مقدار غیرنوعی به نوعی تبدیل میشود. ما در این رساله به مطالعه افت وخیزهای مشاهده پذیرهای دینامیکی در برخی مدلهای واکنش-پخش تک گونه ای طردی با برهمکنشهای نزدیکترین همسایه روی زنجیرهای یک بعدی با مرزهای باز پرداختیم. در مرحله اول، حالت خاصی از مدل گلوبر نامتقارن در دمای صفر با شرط مرزی باز را درنظر گرفتیم که در آن آهنگهای گذار مربوط به دو فرایند فنا از چپ و تفکیک از راست در بدنه زنجیر غیرصفر و آهنگهای گذار این دو فرایند در جهت عکس برابر صفر میباشند. در این مدل افت وخیزهای اکتیویته، که بعنوان تعداد دفعات تغییر پیکربندی سامانه در یک مسیر دینامیکی تعریف میشود، را مورد مطالعه قرار دادیم. تابع توزیع این مشاهده پذیر دینامیکی را در حد زمانهای طولانی، به کمک رهیافت انحراف بزرگ محاسبه کردیم. از طرف دیگر، با در نظر گرفتن یک مجموعه آماری از مسیرهای دینامیکی و اعمال رهیافت انحراف بزرگ، دریافتیم که این سامانه دستخوش یک سلسله گذار فاز دینامیکی میشود. سپس مسئله شرطی سازی فرایند روی مقادیر غیرنوعی اکتیویته و نمایش آن توسط یک فرایند غیرشرطی را در نظر گرفتیم. ما دریافتیم که برهمکنشهای موثر بلند برده و دینامیک موثر مدل را میتوان برحسب جبهه شوکهایی با برهمکنش دافعه توصیف نمود. در هر مورد نتایج دقیق عددی با محاسبات تحلیلی مقایسه شده است. در مرحله بعد، این پرسش را مورد بررسی قرار دادیم که آیا مانند مدل گلوبر مطالعه شده، دینامیک موثر همواره متفاوت از دینامیک نوعی است. در راستای پاسخ به این پرسش، با مطالعه افت وخیزهای جریان واکنش-پخش کل ذره در مدلهای واکنش-پخش اشاره شده در بالا دریافتیم که تحت برقراری قیودی روی آهنگهای گذار، مقدار جریانی وجود دارد که به ازای آن مولد فرایند تصادفی موثر (تا حد بازمقیاس بندی قواعد دینامیکی میکروسکوپی) دقیقاً مشابه مولد تصادفی فرایند اصلی است. سپس نشان دادیم که این رهیافت را میتوان به هر مش