حمید اسمعیلی

در این پایان نامه، ما به معرفی روش قطری گرادیان گسسته باندل برای حل مسائل بهینه سازی ناهموار نامحدب آزاد- مشتق میباشد. هدف از طراحی این روش، حل مسائل بهینه سازی ناهموار با اندازه متوسط و بزرگ از متغیرها زمانی که هیچ اطلاعاتی از زیرگرادیان در دسترس نباشد. بیشتر روشهای موجود آزاد-مشتق مانند الگوریتم ژنتیک یا روش پاول برای حل مسائل ناهموار حتی با ده متغیر ناکارآمد هستند. برای سایر روشهای آزاد-مشتق، همگرایی را فقط میتوان تحت فرضیههای دیفرانسیلپذیر یا دیفرانسیلپذیر اکید اثبات کرد. در موارد خاص، الگوریتم ناحیه اعتماد ناهموار در صورتی که تابع هدف یک تابع لیپشیتس پیوسته موضعی و منظم باشد، همگرایی را ثابت میکند. روش گرادیان گسسته و روش تقریب زیرگرادیان همگرایی را برای توابع هدف نیمه هموار شبه دیفرانسیل ثابت میکنند و روش حافظه محدود گرادیان گسسته همگرایی سراسری را برای توابع نیمه هموار ثابت میکند. ایده روش قطری گرادیان گسسته باندل، ترکیبی از روش گرادیان گسسته و روش قطری باندل میباشد. روش گرادیان گسسته یک روش آزاد-مشتق برای مسائل بهینهسازی نامحدب ناهموار با تعداد متغیرهای کم میباشد، در حالی که روش قطری باندل جایگزین روش حافظه محدود باندل که با استفاده از اطلاعات زیرگرادیانها به حل مسائل بهینهسازی نامحدب ناهموار برای اندازههای بزرگ میپردازد.

معادله ماتریسی یک معادله شامل ماتریس‌ها و بردارها است که انواع آن کاربردهای زیادی در زمینه‌های مختلفی مانند علوم مهندسی، آمار، مسائل کنترل بهینه، برنامه‌ریزی‌های خطی و غیر خطی، برنامه‌ریزی‌های پویا، شبکه‌های نردبانی، فیلترهای تصادفی، بهینه‌سازی، پردازش تصویر و همچنین یادگیری ماشین دارد. در این رساله روش‌های تکراری برای به دست آوردن جواب معادله‌های ماتریسی قدرمطلقی، دو نوع معادله ماتریسی غیر خطی، تقریب معکوس موره-پِنروز و تقریب معکوس موره-پِنروز وزن‌دار یک ماتریس و تقریب تجزیه قطبی یک ماتریس مورد پژوهش قرار گرفته است. از آن جایی که روش‌های تکراری برای یافتن جواب بسیار کارا هستند، با در نظر گرفتن روش‌های تکراری قبلی، روش‌های تکراری جدیدی برای هر مسئله ارائه شده است. روش تکراری برای یافتن جواب معادله قدرمطلقی با اتکا به کاهش هزینه‌های محاسباتی و اصلاح روش روهن معرفی و همگرایی آن ثابت شده است. برای حل معادله‌های ماتریسی غیر خطی در فصل دوم، روش‌های تکراری آزاد از معکوس جهت کاهش هزینه محاسبات و دوری از سختی کار با معکوس ماتریس معرفی شده و همگرایی آن تحت شرایطی روی ماتریس‌های معلوم در معادله نشان داده شده است. در فصل سوم یک روش تکراری همگرای مرتبه چهار برای یافتن تقریب معکوس موره-پِنروز در حالت ساده و وزن‌دار ارائه شده است. در فصل چهارم، مجموعه‌ای از روش‌های تکراری جدید بدون نیاز به محاسبه معکوس در مقایسه با دیگر روش‌ها، معرفی و همگرایی آن‌ها ثابت شده است. با افزایش اندازه‌ی ماتریس‌ها هزینه محاسباتی روش‌های تکراری مورد توجه قرار می‌گیرد. از این رو، روش‌های پیشنهادی که هزینه محاسباتی کمتری نسبت به دیگر روش‌های تکراری دارند، با زمان اجرای کمتری همراه هستند. در ادامه‌ی معرفی هر روش تکراری جدید، نتایج عددی مقایسه روش‌ها جهت نشان دادن کارایی روش‌های پیشنهای طی چند مثال برای مسائل مختلف گزارش می‌شود.

در این رساله الگوریتمهای جدید با نام های شرینکیج گرادیان مزدوج تعمیم یافته و شرینکیج گرادیان مزدوج سه جمله ای تعمیم یافته برای حل مساله مینیمم سازی محدب نرم یک منظم شده ارائه می شود. همگرایی سراسری و زبر خطی الگوریتم های جدید تحت برخی فرضهای به اثبات می رسند.

سنجش فشرده یک موضوع اساسی در پردازش سیگنال ها می باشد که قابلیت کاهش تعداد نمونه برداریها و .....

در این رساله به حل مستقیم معادله قدر مطلقی می پردازیم. از 5 روش ارایه شده، 2 مورد قبلا عنوان شده و موارد 3،4، و 5 را جدیدا عنوان می کنیم.