Karim Samei

یک کد Z_p Z_(p^k )-جمعی مانند C⊆Z_p^α×Z_(p^k)^β، دوری نامیده میشود اگر مجموعه مختصات بتواند به دو زیرمجموعه تقسیم شود، مجموعه مختصات Z_p و مجموعه مختصات Z_(p^k )، به طوریکه هر تغییر دوری مختصات هر دو زیرمجموعه، کد را ثابت نگه دارد. در این پایاننامه، همه کدهای دوری از طول فرد روی Z_4 را مشخص میکنیم که تصاویرگری آنها کدهای خطی هستند. همچنین، ساختارهای جبری کدهای دوری Z_p Z_(p^k )-جمعی را مطالعه میکنیم و چندجملهایهای مولد و مجموعه مولد مینیمال این کدها را ارائه میدهیم. سپس، شرط لازم و کافی برای آن دسته از کدهای دوری Z_p Z_(p^2 )-جمعی که تصویرگری آنها بر روی Z_p خطی باشد(نه لزوما دوری) را بیان میکنیم. افزونبراین، خطی بودن تصاویرگری را برای خانوادههای خاص از کدهای دوری روی Z_(p^2 ) و Z_p Z_(p^2 ) مشخص میکنیم. این پایاننامه براساس مرجع [30] نگارش شده است.

کدهای Z_(p^s )-جمعی به طول n زیرگروههایی از Z_(p^s)^n هستند و میتوان آنها را به عنوان تعمیمی از کدهای خطی روی Z_2، Z_4 یا به طور کلی Z_(2^s ) در نظر گرفت. یک کد Z_(p^s )-خطی هادامارد تعمیم یافته(GH)، یک کد GH روی Z_p است که تصویر یک کد Z_(p^s )-جمعی تحت نگاشتگری تعمیم یافته است. در این پایاننامه، برخی از نتایج شناخته شده برای کدهای Z_(p^s )-خطی GH با p=2 را به هر عدد اول فرد p تعمیم می دهیم. نخست، برخی نتایج مرتبط با نگاشتگری تعمیم یافته کارلت را نشان میدهیم. سپس، با استفاده از ساختار تکراری کدهای Z_(p^s )-جمعی GH از نوع (n;t_1,…,t_s) نشان می دهیم که برای کدام نوعها، کدهای Z_(p^s )-خطی به طول p^t روی Z_p غیرخطی هستند. برای این کدها، هسته و بُعد آن را محاسبه میکنیم که به ما امکان می دهد یک طبقهبندی جزئی ارائه دهیم. نتایج به دست آمده برای p≥3 با حالت p=2 متفاوت است. سرانجام، تعداد دقیق چنین کدهای غیرهم ارز برای تعداد نامتناهی از مقادیر s,t و هر p≥2 ارائه شده است؛ با بهرهگیری از رتبه به عنوان یک پارامتر پایا در برخی حالتهای خاص. این پایاننامه براساس مرجع [9] نگارش شده است.

کدهای هادامارد وکاربرد آن‌ها در طول دو دهه‌ی اخیر رشد سریع و چشمگیری داشته است. کدهای هادامارد از ماتریس‌های هادامارد n×n، ساخته می‌شوندکه درایه‌های آن‌ها 1و1- هستند و شرط HH^T=nI_nرا برآورده می‌کنند، توجه داریم که I_n ماتریس همانی می‌باشد. کدهای Z_p Z_(p^2 )-جمعی زیرگروه‌هایی از Z_p^(α_1 )×Z_(p^2)^(α_2 ) هستند و می‌توان آن‌ها را روی Z_p و Z_(p^2 )و Z_2×Z_4-خطی در نظر گرفت، اگر به ترتیب داشته باشیم 0= α_(2 ) و 0 = α_(1 ) و p=2. یک کد Z_p Z_(p^2 )-خطی هادامارد تعمیم یافته GH،‌‌‌ یک کد GHروی Z_p است که تصویر نگاشت گری کد Z_p Z_(p^2 )-جمعی می‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌باشد. کدهای Z_p Z_(p^2 )-که بعد از اعمال نگاشت گری Φ کدهای GHرا به‌وجود می‌آورند، کدهای Z_p Z_(p^2 )-جمعی GH می‌نامند و در تناظرآن‌ها تصویرشان را کدهای Z_p Z_(p^2 )-خطی GH می‌گویند.

در این پایان نامه همه کدهای دوری خطی روی با طول فرد که تصاویر نگاشت گری آنها کدهای خطی است (یا به طور معادل، تصاویر نگاشت نچیو-گری آنها کدهای دوری خطی هستند) را تعیین می کنیم.

A binary linear code C is a Z2-double cyclic code if the set of coordinates can be partitioned into two subsets such that any cyclic shift of the coordinates of both subsets leaves invariant the code

پیوست است

مطابق پایان نامه در پیوست

در این پایان نامه، کدهایی را روی حلقه ی R=F_2+uF_2 می سازیم که برای محاسباتDNA کاربرد دارند. کدهای به دست آمده در محدودیت معکوس–مکمل،GC محتوا و پرهیز از ساختار ثانویه صدق می کنند. آن ها از کدهای دوری معکوس – مکمل روی حلقه یR=F_2+uF_2 به دست می آیند. همچنین خانواده ای از کدهای BCH DNA ارائه می دهیم. این پایان نامه بر اساس مرجع] 2[ نگاشته شده است.

کدهای شبه دوری اخیرا روی حلقه F_2+uF_2+vF_2+uvF_2که یک حلقه غیر زنجیری متناهی می باشد مورد مطالعه قرار گرفته است. نشان داده شده است که تصویر گری این کدها، کدهای شبه دوری دودویی می باشد . با به کارگیری این روش 17 کد شبه دوری دودویی جدید به دست می آید. به علاوه تعدادی کد شبه دوری با همان پارامترها که جزء بهترین کدهای خطی دودویی شناخته شده است، معرفی می گردد. این پایان نامه بر اساس مرور و تحلیل مقاله مرجع ]17[انجام می شود.

کدهای پایا دوری نقش ویژه ای را در نظریه کدهای تصحیح کننده خطا ایفا می کنند. مهم ترین نوع از این کدها، کدهای دوری هستند. در این پایان نامه ساختار و فواصل همینگ برای کدهای پاددوری که نوع خاصی از کدهای پایا دوری هستند بیان می شوند. در ادامه کدهای پایا دوری را روی حلقه R=F_(p^m )+uF_(p^m ) معرفی می کنیم، که در آن F_q=F_(p^m ) از مرتبه qاست وuمتغیر است. سپس قواعد و فواصل همینگ تمامی α+uβ– کدهای پایا دوری را بیان می کنیم. همچنین کدهای دوری را روی حلقه R=F_(p^m )+uF_(p^m ) بررسی کرده و در خاتمه نیز با استفاده از یکریختی حلقه ای، تناظری یک به یک بین کدهای دوری و کدهای پایادوری ایجاد می کنیم که تمام خواص کدهای دوری را به کدهای پایادوری منتقل می کند

هدف این پایان نامه این است که همه کدهایλ - پایا دوری خود دوگان از طول p^s روی حلقه زنجیری متناهیR=F_(p^m )+uF_(p^m ) که در آن p عدد اولی ست، مشخص می شود. اگر λ=α+uβ که در آن α و β عناصر ناصفر از F_(p^m ) می باشد، ایده آل 〈u〉 تنها کد خود دوگان α+uβ- پایا دوری می باشد. اگر λ=γ برای بعضی از عناصر ناصفر γ از F_(p^m )، دو حالت برای γ در نظر می گیریم، γ=1 و γ=-1. نخست دوگان هر کد دوری را به دست آورده و یک فرمول برای تعداد آن کدها ارائه داده و کدهای دوری خود دوگان را مشخص می کنیم. سپس با استفاده از یکریختی حلقه ای φ نتایج کدهای دوری را برای کدهای پاد دوری تطبیق می دهیم. این پایان نامه بر اساس مرجع ]14[ نوشته شده است.

For any odd prime p such that pm 1 (mod 4) , the structures of all –constacyclic codes of length 4ps over the finite commutive chain ring Fpm + uFpm(u2 = 0) are established in terms of their generator polynomials , if the unit is square , each –constacyclic code of length 4ps is expressed as a direct sum of an 􀀀 - constacyclic code and an - constacyclic code of length 2ps.

We determine the minimal generating set of 1-generator generalized quasi-cyclic codes over Z4. We also determine their rank and introduce a lower bound for the minimum distance of free 1-generator generalized quasi-cyclic codes. Further, we construct some new Z4-linear codes and we obtain some good binary nonlinear codes using the usual Gray map